Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 \\ - 2 & - 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Find the determinant.

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Étape 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 1.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ .

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 1.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 1.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 1.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 (2 - (- 2 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Étape 1.3.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 1 (2 - - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 1.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 1 (2 + 2) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 1 \cdot 4 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot 4 + 1 (- 1 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 \cdot 4 + 1 (- 1 - (- 2 \cdot 1)) + 0$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Étape 1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 1 \cdot 4 + 1 (- 1 - - 2) + 0$

Étape 1.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 1 \cdot 4 + 1 (- 1 + 2) + 0$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$- 1 \cdot 4 + 1 \cdot 1 + 0$

Étape 1.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 1 + 0$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 4 + 1 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$- 3 + 0$

Étape 1.5.3

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$- 3$

Étape 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 - 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{1}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 4.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 2 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 4.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 1 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \\ - 2 & 0 & 1 \end{array}]$